1.
Notasi
Notasi adalah lambang –
lambang matematis yang telah disepakati yang mempunyai makna tertentu. Contoh :
1) Notasi
yang berkaitan dengan obyek (misalnya himpunan, matriks,vector)
2) Notasi
yang berkaitan dengan operasi atau pengerjaan (misalnya +, -,×, : , dan p )
3) Notasi
yang berkaitan dengan hubungan unsur- unsur ( misalnya = , >, < , , | )
4) Notasi
yang berkaitan dengan pernyataan yang menjelaskan ( misalnya FPB a dan b di
tulis dengan (a,b), KPK a dan b ditulis
dengan [a,b] )
5) Notasi
yang berkaitan dengan himpunan, yaitu :
N : Himpunan bilangan asli { 1, 2, 3 …. }
Z : Himpunan bilangan bulat { …, -2, -1 , 0, 1, 2, …}
Z+ : Himpunan bilangan bulat positip
: { 1, 2, 3,…
}
: { x Î Z |
x > 0 }
: { x Î Z |
x ³ 1 }
Q : Himpunan bilangan rasional
: { | a, b Î Z dan b ¹ 0 }
Q+ : Himpunan bilangan rasional positif
: { x Î Q |
x > 0 }
R : Himpunan bilangan Real
R+ : Himpunan bilangan real positif
: { x Î R | x > 0 }
R- : Himpunan bilangan real negatif
: { x Î R | x < 0 }
P : Himpunan bilangan prima
C : Himpunan bilangan
kompleks
: { x + yi |
x, y Î R, i2 = -1 }
C*: Himpunan bilangan kompleks tidak nol
Beberapa notasi yang lain terdapat di dalam uraian-
uraian yang terkait dengan definisi dan penjelasan di dalam pembahasan. Notasi
yang berkaitan dengan penjumlahan yaitu
(sigma) artinya penjumlahan berulang dan p (pi) artinya perkalian
berulang.
Contoh:
1) =
1+2+3+4 =10
= 3.12 + 3.22
+ 3.32 + 3. 42 + 3.52 = 165
3) = 22 + 23
+ 24 + 25 + 26 + 27 = 128
4) = 2(3) + 2(4) + 2(5) + 2(6)
= 18 + 32 + 50 + 72
= 172
5) =
1.2.3.4.5.6 = 720
6) = 21.22.23
= 64
Batas atas dan batas bawah dari dan p dapat di tentukan sembarang bilangan
bulat dimana:
· Batas
bawah tidak selalu 1, tetapi bilangan bulat sebarang
· Batas
atas tidak boleh kurang dari batas bawah
· Huruf
i yang digunakan sebagai indeks, disebut variabel dummy, dan huruf i dapat
diganti oleh sebarang huruf lain.
Di dalam mencari nilai
dan p perlu di perhatikan bahwa
yang berturut- turut dig anti adalah variabel dummy.
Adapun beberapa notasi lain yang penting adalah :
· a |
b : a membagi b, a
factor b, b habis dibagi a, b mempunyai factor a
·
(a,b) : faktor
persekutuan terbesar dari a dan b
·
[a,b] : kelipatan
persekutuan terkecil dari dari a dan b
·
min(x,y) : nilai yang
terkecil dari x dan y
·
max(x,y) : nilai yang
terbesar dari x dan y
·
[x] : bilangan
bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x
·
f(n) : fungsi
f-Euler dari n
· : fungsi jumlah
pembagi
2.
Prinsip
Prinsip
adalah aturan atau sifat yang di pakai sebagai dasar atau landasan dalam
pembuktian. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma atau dalil yang
diambil untuk di gunakan pada bagian lain yang memerlukan. Beberapa prinsip
yang akan digunakan dalam uraian berikutnya adalah prinsip urutan, prinsip
induksi matematis, dan prinsip logika matematis.
A. Prinsip Urutan
Dari dua bilangan bulat a dan b , a dapat di tentukan
hubungan antara a dan b, yaitu a atau a Hubungan ini tetap benar jika a dan b
adalah bilangan rasional atau bilangan nyata.
Dengan menggunakan lambang atau
himpunan bilangan bulat positif Z+ Ì
Z dapat dinyatakan sebagai :
Z+ =
{ x Î Z | x ³ 1 } atau Z+ = {
t Î Z | t > 0 }
Untuk himpunan bilangan rasional positif dan himpunan
bilangan nyata positif, ternyata Q+ dan R+ tidak dapat dinyatakan dengan
menggunakan lambang , yaitu:
Q+ =
{ sÎ Q| s > 0 } dan R+ = { r Î R| r > 0 }
Berbeda dengan Q+ , R+ dan Z+ mempunyai sifat bahwa setiap A Ì Z+ dan A
f, tentu ada bilangan bulat k Î A sehingga k x untuk semua x Î A ; k disebut elemen
terkecil. Keberadaan elemen terkecil ini tidak berlaku dalam Q+ dan R+. keadaan
inilah yang membedakan Z+ dari Q+ dan R+
Prinsip urutan menyatakan bahwa:
Suatu himpunan S disebut terurut jika setiap X Ì S dan X
f, maka X mempunyai elemen( unsur) terkecil. Contoh:
1) Himpunan
bilangan asli N adalah terurut karena setiap himpunan bagian dari N yang tidak
kosong mempunyai unsur terkecil, atau tidak ada himpunan bagian dari N yang
tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil.
2) Himpunan
bilangan rasional positif Q+ adalah
tidak terurut karena ada himpunan bagian dari Q+ yang tidak kosong dan tidak
mempunyai unsur terkecil, misalnya : X
= { 1, , …}
3) Himpunan
A = { 3, 4, 5, 6, 7 } adalah terurut sebab setiap X Ì A dan X f, maka X mempunyai elemen terkecil.
4) Himpunan
B = {-6,-5,-4….} adalah terurut.
B. Prinsip Logika Matematis
Terdapat empat prinsip
logika yang perlu mendapatkan perhatian terutama untuk membahas sifat-sifat di
dalam teori bilangan. Dua prinsip pertama berkaitan dengan kuantor dan dua
prinsip yang lain berkaitan dengan implikasi.
(a)
Pernyataan Berkuantor : Pernyataan “Setiap x memenuhi y” tidak
dapat dibuktikan dengan memberikan contoh-contoh x yang memenuhi y. sebagai
peragaan, pernyataan setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil tidak dibuktikan
dengan memberikan contoh atau kasus sebanyak-banyaknya.
11 adalah bilangan prima dan 11 adalah bilangan ganjil
13 adalah bilangan prima dan 13 adalah bilangan ganjil
17 adalah bilangan prima dan 17 adalah bilangan ganjil
7 adalah bilangan prima dan 7 adalah bilangan ganjil
Dengan empat contoh di atas apakah sudah ada jaminan
bahwa setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil? Bagaimanakah jika
contoh-contohnya ditambah dengan 37, 41, dan 53? Ternyata tidak setiap bilangan
prima adalah bilangan ganjil karena 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah
bilangan tidak ganjil (bilangan genap).
Tidak berlakunya pernyataan “Setiap x memenuhi y”
dapat ditunjukkan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y.
Contoh semacam ini disebut dengan contoh kontra (counter example). Sebagai
peragaan yang lain, tidak berlakunya sifat setiap bilangan bulat yang tidak
positif adalah bilangan bulat negatif dapat ditunjukkan dengan memberikan suatu
contoh yaitu bilangan 0 (nol) adalah bilangan bulat yang tidak positif tetapi
bukan bilangan negatif.
Pernyataan “Tidak setiap x memenuhi sifat y” dapat
dibuktikan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Sebagai
peragaan, pernyataan tidak semua bilangan asli n habis dibagi oleh 3 dapat
ditunjukkan kebenarannya dengan memberikan suatu contoh yaitu bilangan asli 5 (
atau yang lain) yang tidak habis dibagi oleh 3.
(b)
Bukti Langsung : Pembuktian secara langsung dilakukan
berdasarkan pernyataan p yang diketahui, p diproses dengan sifat-sifat yang
telah berlaku, akhirnya diperoleh pernyataan q. Pernyataan “Jika p maka q”
dapat dibuktikan dengan mendasarkan pada pernyataan p yang diketahui kemudian
diarahkan untuk memperoleh pernyataan P1, P2, P3, …, Pn.dan akhirnya diperoleh
q.
p → P1 →P2 → P3 → …→ Pn→ q
Prinsip modus ponens dan prinsip silogisme memberikan
dasar konstruksi pembuktian langsung. Prinsip modus ponens adalah sebagai
berikut.
p → q
p
¾¾¾¾
Jadi q.
Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.
p → q
q → r
¾¾¾¾
Jadi p → r
Pernyataan “Kuadrat dari bilangan ganjil adalah
bilangan ganjil” dapat dibuktikan secara langsung. Dalam suatu dalil, pernyataan jika ac membagi
bc, maka a membagi b bersesuaian dengan diketahui ac membagi bc, harus
dibuktikan a membagi b. Jadi, berangkat dari ac membagi bc sebagai hal yang
diketahui, kemudian diproses dengan definisi, dalil, dan aksioma yang sesuai
dan sudah diketahui, sehingga akhirnya terbukti a membagi b.
(c)
Bukti Tak langsung : Pembuktian tak langsung dapat dilakukan
dengan prinsip kontraposisi ataupun kontradiksi.
►Pembuktian dengan prinsip kontraposisi
Dasar pembuktian tersebut adalah prinsip modus tollens
berikut.
p ® q
~q
¾¾-¾¾
Jadi ~p
Dalam pembuktian yang dilakukan dengan prinsip
kontraposisi, untuk membuktikan p®q, mula-mula dianggap bahwa q tidak benar,
dan ternyata menghasilkan ~ p. Hal ini berarti jika p benar maka q benar.
Pernyataan ” Misalkan a bilangan real, dan a ³ 0 .
Jika untuk setiap e > 0 berlaku 0 £ a
Bukti:
Andaikan 0 £ a< e dan a ¹ 0. Dari a³ 0 dan a ¹ 0
diperoleh a > 0 . Karena e sebarang bilangan positif, ambil e = > 0, maka e < a atau a > e. Hal ini
bertentangan dengan pengandaian. Jadi yang benar, 0 £ a
(b)
Pembuktian Dengan Kontradiksi : Untuk membuktikan bahwa ”
p ® q” benar, ditunjukkan bahwa ”p dan ~q” mengakibatkan sesuatu pertentangan.
Prinsip kontradiksi dalam pembuktian tak langsung adalah sebagai berikut.
[~ p ® (q Ù ~q)] ® p
Pembuktian tak langsung ini berangkat dari suatu
anggapan benar. Kemudian anggapan benar ini dijalankan dengan hal-hal yang
diketahui atau sifat yang telah tersedia, ternyata menghasilkan sesuatu yang
bertentangan (kontradiksi) atau sesuatu yang mustahil, yang berarti bahwa
anggapan yang diambil semula adalah tidak benar (salah).
Pernyataan ”Jika a bilangan real dan a > 0
maka > 0 ” dapat dibuktikan dengan
kontradiksi
Bukti
:
Diketahui a bilangan real dan a > 0 . Andaikan £ 0. Selanjutnya digunakan prinsip bahwa
hasil kali bilangan positif dan bilangan negatif adalah negatif, sebagai
berikut.
Untuk < 0
berarti a × < 0 Û 1 < 0 dan
untuk = 0 berarti a × =0 Û 1= 0 sehingga untuk £ 0 berakibat 1 £ 0 . Hal ini kontradiksi
dengan sifat bilangan 1 bahwa 1 > 0 .
Jadi yang benar, a > 0 maka > 0 .
Ø Prinsip Induksi Matematis : Prinsip
induksi matematis sering digunakan sebagai satu cara untuk membuktikan
berlakunya suatu hubungan atau suatu dalil.
Prinsip induksi matematis menyatakan bahwa:
S adalah himpunan bilangan asli
Jika: a. 1 ϵ S
b. k ϵ S
berakibat (k+1) ϵ S
maka memuat semua bilangan asli yaitu S = N
Contoh :
1+2+3+…+ n =
untuk setiap n ϵ N
1 ϵ S sebab untuk n=1, ruas kiri bernilai 1 dan ruas
bernilai =1
Sehingga ruas kiri dan ruas kanan bernilai sama
Anggaplah k ϵ S,yaitu:
1+2+3+…+ k =
Harus ditunjukan (k+1) ϵ S, yaitu harus ditunjukan:
1+2+3+…+ k + (k+1) =
1+2+3+…+ k + (k+1) =
Karena:
1+2+3+…+ k =
Maka:
1+2+3+…+ k + (k+1) = + (k+1)
= +
=
=
1+2+3+…+ k + (k+1) =
Karena (k+1) ϵ S maka sesuai dengan prinsip induksi
matematis, S = N
Yaitu: 1+2+3+…+
n = untuk setiap n ϵ N
3.
Konjektur (Conjecture)
Dalam teori bilangan terdapat masalah-masalah yang belum terselesaikan
atau belum terpecahkan, yang dinamakan konjektur. Konjektur (Conjecture =
dugaan, perkiraan) yaitu suatu pernyataan yang kebenarannya belum diketahui
atau belum dapat dibuktikan.
Beberapa konjektur dalam teori bilangan antara lain
adalah sebagai berikut :
(1)
Konjektur Fermat
a. Untuk semua bilangan bulat x, maka x2 -x -41 adalah
bilangan prima, kecuali
x =41
Contoh :
Untuk x=1, maka x2 -x + 41 =41
Untuk x=2, maka x2 -x + 41 = 43
Untuk x=3, maka x2 -x + 41 = 47
Untuk x=4, maka x2 -x + 41 = 53
Untuk x=5, maka x2 -x + 41 = 61
b. adalah bilangan prima.
Contoh :
Untuk n=0, maka
= = 3
(bilangan prima)
Untuk n=1, maka
= = 5
(bilangan prima)
Untuk n=2, maka
= = 17
(bilangan prima)
Untuk n=3, maka
= = 257
(bilangan prima)
Untuk n=4, maka
= = 65537
(bilangan prima)
Untuk n=5, maka
= = 4294967297 (bilangan
prima)
c. Untuk n ³ 3, tidak ada bilangan bulat positif x,y,z
yang memenuhi
Konjektur ini disebut Fermat’s Last Theorem (teorema
terakhir Fermat). Sampai
Fermat meninggal, belum ditemukan bilangan bulat n
yang memenuhi
(2)
Konjektur Lagrange
Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah
dari empat bilangan kuadrat.
Contoh :
999 =
(3)
Konjektur Goldbach
a.
Setiap bilangan bulat positif genap lebih dari 4 merupakan jumlah dua bilangan
prima ganjil.
Contoh :
6 = 3 + 3 8
= 3 + 5
10 = 3 + 7 12
= 5 + 7
14 = 3 + 11 30
= 23 + 7
b.
Setiap bilangan bulat positif ganjil lebih dari 8 merupakan jumlah tiga
bilangan prima ganjil.
Contoh :
9 = 3 + 3 + 3 11
= 3 + 3 + 5
13 = 3 + 5 + 5 19
= 5 + 7 + 7
37 = 11 + 13 + 13 101
= 47 + 43 + 11
c.
Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah
dari dua bilangan prima.
Contoh :
4 = 2 + 2 6
= 3 + 3 20
= 7 + 13
50 = 3 + 47 100
= 29 + 71
(4) Konjektur tentang Bilangan Perfek
Bilangan perfek adalah suatu bilangan bulat positif
yang jumlah semua pembagi
sejatinya yang positif sama dengan bilangan itu
sendiri. Dengan kata lain, Bilangan Perfek adalah Bilangan komposit yang jumlah
pembaginya tidak termasuk dirinya, sama dengan dirinya sendiri.
Contoh:
6, 28, 496, 8128, dan 33.550.336.
Pembagi sejatinya 6 adalah 1,2, dan 3; maka,1 + 2 + 3
= 6.
Pembagi sejatinya 28 adalah 1,2,4,7, dan 14; maka, 1+
2 + 4 + 7 +14 = 28
Pembagi sejatinya 496 adalah 1,2,…, dan 248; maka, 1+
2 +...+ 248 = 496
Terdapat beberapa konjektur yang berkaitan dengan
bilangan perfek, yaitu :
a. Banyaknya bilangan perfek adalah takhingga
b. Semua bilangan perfek adalah genap
c. Jika ) adalah bilangan prima, maka )) adalah
bilangan perfek.
(5)
Konjektur tentang Twin Primes (Pasangan Prima)
Twin Primes (Pasangan prima) adalah dua bilangan prima
berurutan yang berselisih 2. Contoh:
3 dan 5; 5 dan 7; 11 dan 13; 17 dan 19; 29 dan 31; 41
dan 43.
Suatu konjektur yang berkaitan dengan Twin Primes
(Pasangan prima) adalah :
Banyaknya pasangan prima (twin prime) adalah tak hingga.
(6)
Konjektur tentang pasangan dua bilangan bersekawan (Amicable)
Bilangan bersekawan ( Amicable) adalah pasangan dua
bilangan bulat positif yang masing-masing jumlah pembaginya yang positif (tidak
termsuk bilangannya) sama dengan bilangan yang lain. Dengan kata lain, Bilangan
bersekawan (Amicable) adalah Sepasang bilangan komposit a dan b dimana jumlah
faktor-faktor dari a tidak termasuk a sama dengan b dan Jumlah factor-faktor
dari b tidak termasuk b sama dengan a.
Contoh: 220 dan 284; 1184 dan 1210; 17296 dan 18416.
Pembagi 220 yang positif adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11,
20, 44, 55, 110
Jumlah pembagi 220 yang positif adalah 1 + 2 + 4 + 5 +
10 + 11 + 20 + 44 + 55 + 110 = 284
Pembagi 284 yang positif adalah 1, 2, 4, 71, 142
Jumlah pembagi 284 yang positif adalah 1 + 2 + 4 + 71
+ 142 = 220
Suatu konjektur yang berkaitan dengan Bilangan
bersekawan (Amicable) adalah :
Terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan
bersekawan (Amicable).
(Sumber
: febrizaandhini27.blogspot.com/2013/01/notasiprinsip-dan-konjektur.html?m=1)
4.
Keterbagian
dan Sifat – Sifatnya
Pembagian bilangan bulat
merupakan bahan pelajaran matematika yang sudah diberikan di sekolah dasar.
Bahan pelajaran ini diperluas penggunaannya sampai pada pemfaktoran prima,
faktor persekutuan terbesar (FPB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan
keterbagian oleh bilangan tertentu (misalnya keterbagian oleh 2,3, atau 9).
Untuk memberikan dasar atau landasan yang lebih kuat kepada guru matematika di
sekolah, maka mereka perlu belajar lebih
mendalam tentang konsep-konsep dasar keterbagian.
Keterbagian
(divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga
konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan didalam sebagian besar uraian
atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang
memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau
divisibility adalah sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan
yang habis oleh bilangan lain.
II. SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN
Teorema
1
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b
dan b│c maka a│c.
Bukti : a│b dan b│c maka menurut Definisi, terdapat
bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga
c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn = p anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya
menurut Definisi, a│c.
Teorema
2
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan
c│b maka c│(am+bm). untuk suatu m,n anggota bilangan bulat.
Bukti
c│a
dan c│b maka terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga a =cx dan b
=cy
Sehingga, am = c(xm) dan bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q,
Maka:
am + bn =
c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).
Teorema
3 (Buchmann, 2002: 3)
a. Jika
a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.
b. Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.
Bukti
a.
Jika a│b dan b ≠ 0 maka menurut
Definisi, terdapat m ≠ 0
sedemikian sehingga b = am.
Karena b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤
|b|.
b.
Andaikan a│b dan b│a. Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0 maka b ≠ 0.
Selanjutnya,
Jika a ≠ 0
dan b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a,
|a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a|
(Sumber
: berlayarjauh.blogspot.com/2012/09/keterbagian-sifat-sifatnya-serta.html?m=1)
5.
Faktor
Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor Persekutuan
Terbesar atau yang familiar disebut sebagai FPB dari dua bilangan merupakan
bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan
tersebut. Terdapat beberapa metode untuk mencari FPB, yaitu :
1.
Menggunakan Faktor Persekutuan
Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih
dan FPB itu sendiri adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua
bilangan atau lebih itu. Contoh:
carilah FPB
dari 4, 8 dan 12?
Penyelesaian :
Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4
Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4
2.
Menggunakan Faktorisasi Prima
Pada cara ini kita ambil bilangan faktor yang sama,
selanjutnya ambil yang terkecil dari 2 atau lebih bilangan. Contoh:
a. carilah FPB
dari 4, 8 dan 12?
Penyelesaian :
buatlah pohon
faktornya
sehingga faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2,
dan yang terkecil adalah 2² = 4
Maka FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4
b.Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30
2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat
faktorisasi prima kedua pohon faktor.
Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
Maka FPB = 2 X
5 =
10
3.
Menggunakan Tabel
Cara tabel ini yaitu dengan membagi bilangan yang
dicari menggunakan bilangan prima.
contoh :
6.
Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan Persekutuan
Terkecil atau lebih dikenal dengan sebutan KPK dari dua bilangan merupakan
bilangan bulat positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh kedua bilangan
tersebut. Dalam mencari nilai KPK dari bilangan dapat digunakan beberapa
metode, antara lain :
1.
Menggunakan Kelipatan Persekutuan
Kelipatan persekutuan merupakan kelipatan yang sama
dari dua bilangan atau lebih . KPK adalah nilai terkecil dari kelipatan
persekutuan 2 atau lebih bilangan.
Contoh:
carilah KPK
dari 4 dan 8?
Jawab :
Kelipatan 4 adalah = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,
36, 40, 44, ….}
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56,
…}Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, … ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8
2.
Menggunakan Faktorisasi Prima
Hal yang harus dilakukan dalam mencari KPK menggunakan
cara faktorisasi prima yaitu mengalikan semua bilangan faktor dan apabila ada
yang sama ambil yang terbesar, apabila keduanya sama ambil salah satunya
Contoh:
carilah KPK dari 8, 12 dan 30
Jawab :
buat pohon faktornya
faktor 2 yang terbesar àdalah 23
faktor 3 nilainya sama untuk 12 dan 30à ambil salah
satunya saja yaitu 3
faktor 5 ada 1 à ambil nilai 5
sehingga KPKnya adalah 23 x 3 x 5 = 120
3.
Menggunakan Tabel
Sama hal nya dengan mencari FPB, hakikatnya cara ini
memiliki prinsip yang sama
contoh :
(Sumber
: Kpk fpb rumus-matematika.com/cara-mencari-kpk-dan-fpb)
7.
Keprimaan
8.
Ciri - Ciri Habis Dibagi
Konsep pembagian akan
selalu menyertakan antara bilangan yang dibagi dan pembagi. Ada dua kemungkinan
yang akan terjadi ketika bilangan yang dibagi dan pembagi dioperasikan yaitu :
bilangan yang dibagi akan habis dibagi dan kemungkinan kedua bilangan yang
dibagi akan memiliki sisa hasil pembagian. Untuk pembahasan kita kali ini kita
akan fokus membahas mengenai bilangan yang habis dibagi.
Apakah yang dimaksud
dengan bilangan yang habis dibagi?. Bilangan yang habis dibagi maksudnya
bilangan yang tidak memiliki sisa jika dibagi dengan suatu bilangan. Maksudnya
bagaimana ?. Biasanya saat kita membagi terutama yang bagi kurung, kita selalu
menuliskan hasil baginya di atas bagi kurungnya, setelah itu kita kalikan.
Hasil perkalian antara hasil dan pembagi kita taruh di bawah bilangan pokok
yang dibagi. Kemudian kita kurangi. Saat mengurangi ini, jika pengurangannya
bernilai nol maka pembagi itu dikatakann bisa membagi habis bilangan tersebut.
Inilah yang disebut habis dibagi yaitu tidak bersisa.
Ciri
dan karakter bilangan yang habis dibagi 2
Pada prinsipnya semua
bilangan bisa dibagi dua. Tetapi untuk bilangan yang habis dibagi dua itu
memiliki ciri – ciri : angka satuannya 0, 2 , 4, 6, dan 8 ( dalam artian semua
bilangan yang s
atuannya angka nol dan angka genap maka bilangan itu
akan habis dibagi dua).
Ciri
dan Karakter bilangan yang habis dibagi 3
Untuk bilangan yang habis
dibagi 3, dia memiliki ciri dan karakteristik sebagai berikut : jumlah semua
digitnya habis dibagi tiga. Maksudnya bagaimana?. Maksudnya dalam suatu
bilangan itu berapa ada angka itu kita jumlahkan semuanya, jika hasilnya bisa
dibagi tiga, maka bilangan itu dikatakan bisa dibagi tiga. Kalau masih bingung
kita langsung saja lihat contohnya.
Ciri
dan Karakteristik bilangan yang habis dibagi 4
Ciri – ciri suatu
bilangan yang habis dibagi dengan angka 4 adalah dua angka terakhirnya habis
dibagi dengan 4 ( empat ).Contoh :
Apakah 234564 habis dibagi dengan 4 ?.
Jawab :
Kita cek dua angka terakhir pada bilangan di atas yaitu
64. Kita tahu 64 habis dibagi 4. Maka 234564 juga habis dibagi 4.
Ciri
- ciri bilangan yang habis dibagi dengan 5
Ciri – ciri suatu
bilangan yang habis dibagi dengan 5 yaitu angka terakhir bilangan itu adalah
angka nol dan lima. Contoh :
Apakah 4567897680 habis dibagi 5 ?. jawabnya : ya.
Karena angka satuan bilangan itu adalah nol.
Ciri
– ciri bilangan yang habis dibagi 6
Ciri – ciri suatu
bilangan yang habis dibagi 6 ( enam ) adalah bilangan tersebut adalah bilangan
genap kemudian penjumlahan dari semua digitnya habis dibagi 3 ( tiga ).
Maksudnya bagaimana ?. pertama, kita pastikan dulu bilangan yang akan kita cek
apakah sudah bilangan genap. Jika bilangan yang kita cek adalah bilangan genap,
selanjutnya kita jumlahkan semua digitnya, apakah bisa habis dibagi 3. Contoh :
Apakah 2736 habis dibagi 6 ?.
Jawab :
Pertama kita perhatikan bilangan 2736 merupakan
bilangan genap.
Setelah itu kita jumlahkan semua digitnya : 2 + 7 + 3
+ 6 = 18. Kita tahu 18 habis dibagi 3. Maka 2736 habis dibagi 6.
Ciri
– ciri bilangan yang habis dibagi 7
Untuk mengenali suatu
bilangan habis dibagi 7 yaitu satuan dari bilangan tersebut kita kalikan dua.
Kemudian kita pakai untuk mengurangi angka sebelumnya. Jika hasil pengurangan
ini bisa dibagi 7 maka bilangan tersebut habis dibagi 7. Contoh :
Apakah 8638 habis dibagi 7 ?.
Jawab :
Pertama kita kalikan satuannya dengan angka 2 ( dua )
yaitu 2 x 8 = 16. Kemudian ini dipakai untuk mengurangi angka sebelumnya :
863 – 16 = 847
Karena 847 masih besar juga, kita ambil lagi satuannya
untuk dikali 2. Sehingga 2 x 7 = 14.
Angka sebelumnya kita kurangi dengan 14.
84 – 14 = 70. Terlihat bahwa 70 habis dibagi dengan 7.
Maka bisa disimpulkan bahwa 8638 habis dibagi 7.
Ciri
suatu bilangan yang habis dibagi 8
Ciri – ciri suatu
bilangan yang habis dibagi 8 adalah tiga digit terakhirnya bisa dibagi dengan 8
( delapan). Contoh 1:
Apakah 3648 habis dibagi 8?.
Jawab :
Kita lihat tiga digit terakhir bilangan itu. Yaitu
648. Kita tahu 648 bisa dibagi 8. Maka 3648 habis dibagi 8.
Contoh 2 :
Apakah 12345786256 habis dibagi 8 ?.
Jawab : Kita lihat digit terakhir bilangan itu yaitu
256. Kita tahu 256 habis dibagi 8. Maka bilangan 12345786256 pun habis dibagi
8.
Ciri
bilangan yang habis dibagi 9
Cirri-cirinya adalah
jumlah semua digit bilangan itu habis dibagi 9. Contoh :
Apakah 2341341 habis dibagi 9 ?
Jawab :
Kita jumlahkan semua digitnya : 2 + 3 + 4 + 1 + 3 + 4
+ 1 = 18. Kita tahu 18 habis dibagi 9. Maka bilangan 2341341 habis dibagi 9.
(Sumber
: ilmuhitung.com/bilangan-habis-dibagi/)
Ada beberapa istilah bilangan pada Matematika, yakni
Bilangan Real, Rasional, Irrasional, Bulat, Asli, Prima, dan Bilangan Cacah,
pengertian ini merupakan sebuah dasar dalam ilmu matematika. Bila sobat tidak
hafal maupun tahu tentang beberapa bilangan matematika, maka nantinya akan
sulit. Dalam tingakatan SD, SMP, dan SMA bilangan ini sering dibahas, maka dari
itu berikut masing-masing pengertiannya.
1. Sistem Bilangan Real Didalam kajian bilangan
dalam matematika, sistem bilangan pertama yang dikenal manusia adalah bilangan
Asli yang disingkat dengan N (Natural). Selanjutnya manusia mengenal bilangan 0
dan bilangan negatif, sehingga bilangan asli menjadi Bilangan Bulat (Z). Pada
sistem bilangan bulat yang dilengkapi operasi tambah (+) dan operasi kali (.
atau ´)
akan membentuk suatu ring (gelanggang) yang memenuhi sifat-sifat.
Sifat-sifat bilangan Real
a. Aksioma Medan
Bilangan Riil dalam operasi penjumlahan dan perkalian
memenuhi aksioma berikut ini. Misalkan x dan y merupakan bilangan riil dimana
x+y suatu operasi penjumlahan dan xy suatu operasi perkalian.
Aksioma 1 ( hukum komutatif ) yaitu x+y=y+x dan xy=yx
Aksioma 2 ( hukum asosiatif ) yaitu x+(y+z)=(x+y)+z
dan x(yz)=(xy)z
Aksioma 3 ( hukum distributif ) yaitu x(y+z)=xy+xz
Aksioma 4 (eksistensi unsur identitas). Identitas
untuk penjumlahan 0 dan untuk perkalian 1 yang menjadikan 0+x=x dan 1.x=x.
Aksioma 5 (eksistensi negatif / invers) terhadap
penjumlahan dimana x+y=0 maka dapat ditulis y=-x.
Aksioma 6 (eksistensi resiprokal/invers) terhadap
perkalian dimana xy=1 sehingga kita dapat melambangkan y=1/x
1.) Sifat Komutatif (pertukaran) :
penjumlahan : x+y = y+x
contoh : 2+3 = 3+2
Perkalian : x.y = y.x
contoh : 2.3 = 3.2
2.) Sifat Asosiatif (pengelompokan)
Penjumlahan : (x+y)+z = x+(y+z)
contoh : (2+3)+0,5 = 2+(3+0,5)
perkalian : (x.y).z = x.(y.z)
contoh : (2.3).0,5 = 2.(3.0,5)
3.) Sifat eksistensi bilangan 0
terdapat 0 elemen ℝ sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a
contoh : 0 + 2 = 2+0
4.) Sifat eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan
untuk setiap a elemen ℝ terdapat -a elemen ℝ sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0
contoh : (-5) + 5 = 0 dan 5 + (-5) = 0
5.) Sifat eksistensi elemen unit 1
Terdapat 1 elemen ℝ sedemikian hingga 1.a = a dan a.1 = a
contoh : 1. 2,4 = 2,4 . 1
Terdapat 1 elemen ℝ sedemikian hingga 1.a = a dan a.1 = a
contoh : 1. 2,4 = 2,4 . 1
6.) Sifat eksistensi invers perkalian
Untuk setian a elemen ℝ dengan a bukan sama dengan nol, terdapat 1/a elemen ℝsedemikian sehingga (1/a) . a = 1 dan a. (1/a) = 1
contoh : (1/5).5 = 1
7.) Sifat Distributif (penyebaran)
x.(y+z) = (x.y) + (x.z) dan (y + z).x = (y.x) + (z.x)
contoh : 4.(2+3) = (4.2) + (4.3)
Untuk setian a elemen ℝ dengan a bukan sama dengan nol, terdapat 1/a elemen ℝsedemikian sehingga (1/a) . a = 1 dan a. (1/a) = 1
contoh : (1/5).5 = 1
7.) Sifat Distributif (penyebaran)
x.(y+z) = (x.y) + (x.z) dan (y + z).x = (y.x) + (z.x)
contoh : 4.(2+3) = (4.2) + (4.3)
Himpunan yang memenuhi aksioma-aksioma diatas disebut
medan, oleh karena itu aksioma-aksioma diatas disebut aksioma medan.
b. Aksioma Urutan
Disini kita akan mengasumsikan terdapat R+ yaitu
bilangan riil positif, misalnya x dan y anggota R+, maka akan memenuhi aksioma
:
Aksioma 7 yaitu xy dan x+y anggota R+.
Aksioma 8 yaitu untuk setiap x≠0 , x anggota R+ atau
-x anggota R+, namun tidak mungkin keduanya sekaligus.
Aksioma 9 yaitu 0 bukan merupakan anggota R+.
c. Aksioma
Kelengkapan
Aksioma 10 yaitu setiap anggota bilangan riil S yang
memiliki batas atas memiliki supremum, yaitu ada bilangan riil B sehingga
B=sup(S).
1. Fungsi
Trigonometri
Fungsi
trigonometri meliputi fungsi sinus, cosinus, tangen dan fungsi kebalikan dari
ketiga fungsi tersebut. Persamaan fungsi trigonometri dapat dilihat seperti
penjelasan berikut :
Cara
untuk mengingat fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan “Jembatan Keledai” :
Sin
= De/Mi
Cos
= Sa/Mi
Tan
= De/Sa
ü SinDeMi
: Sinus Depan Miring
Sin
α = Sisi depan
Sisi miring
ü CosSaMi
: Cosinus Samping Miring
Cos
α = Sisi samping
Sisi miring
ü TanDeSa
: Tangen Depan Samping
Tan
α = Sisi depan
Sisi samping
2. Limit
Yang Melibatkan Fungsi Trigonometri
Limit Trigonometri adalah nilai terdekat pada suatu
sudut fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi ini bisa langsung
disubtitusikan seperti misalnya limit fungsi aljabar namun ada fungsi
trigonometri yang harus diubah dahulu ke identitas trigonometri untuk limit
yang tak tentu yaitu limit yang apabila langsung disubtitusikan nilainya
bernilai 0, bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas
tetapi menggunakan teorema limit trigonometri atau ada juga yang memakai
identitas dan teorema. Maka apabila
suatu fungsi limit trigonometri disubtitusikan nilai yang mendekatinya
mengahsilkan dan maka harus menyelesaikan dengan cara lain.
Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri
terdapat beberapa cara yang bisa dipakai :
1. Metode
numeric
2. Menggunakan
turunan
3. Subtitusi
4. Kali
sekawan
5. Pemfaktoran
·
Rumus limit trigonometri
Cara menentukan nilai limit fungsi
trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan c bisa secara mudah didapat
dengan melakukan subtitusi nilai c pada fungsi trigonometrinya. Persamaan rumus
limit fungsi trigonometri seperti pada gambar di bahwah ini :
·
Rumus limit fungsi trigonometri untuk x
-> c :
·
Limit fungsi trigonometri untuk x
mendekati 0 ( Nol)
Dalam berbagai rumus yang bisa disebut
sebagai “property” untuk menyelesaikan soal-soal limit trigonometri. Kumpulan
property tersebut bisa dilihat pada daftar rumus limit trigonometri yang
diberikan dibawah ini :
Rumus limit fungsi trigonometri untuk x
-> 0 :
·
Teorema limit trigonometri :
Ada beberapa teorema yang bisa dipakai untuk
menyelesaikan persoalan limit trigonometri :
1. Teorema
A
Teorema diatas hanya
berlaku saat (x->0)
2. Teorema
B
Ada beberapa teorema yang berlaku. Pada
setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi yaitu :
Biasanya pada soal limit
fungsi pada trigonometri nilai terdekat dari limit fungsinya ialah berupa
sudut-sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Untuk itu
perlu mengetahui nilai-nilai sudut istimewa yang telah disajikan table istimewa
dibawah ini :
Contoh soal :
1. Tentukanlah
nilai dari
Pembahasan :
Soal yang diberikan pada
soal yang dikerjakan dengan kombinasi pemfaktoran dan memanipulasi dengan
identitas trigonometri. Identitas trigonometri yang dipakai yaitu cosinus sudut
rangkap, seperti terlihat pada persamaan dibawah
Kemudian perhatikan
proses pengerjaannya dibawah ini :
Maka jawaban soal di atas
adalah E.
2. Tentukanlah
nilai dari limit berikut
Jawaban
:
3.Fungsi
Polinom
Polinom/suku banyak adalah bentuk
suku-suku dengan banyak tak terhingga yang disusun dari peubah/variable dan konstanta.
Operasi yang digunakan hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat
bilangan bulat positif.
·
Pengertian Fungsi Polinomial
Fungsi polinomial berderajat n adalah fungsi yang memiliki bentuk:
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …
+ a2x2 + a1x + a0 dimana n adalah
bilanga bulat tidak negatif dan an ≠
0. Selanjutnya, a0 disebut konstanta dan an, an – 1, an 2 disebut koefisien-koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2
Fungsi
yang mengandung banyak suku (polinom) dan variabel bebasnya. bentuk umum fungsi
polinom : y= a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn
Contoh
polinom adalah : x2 - 4x + 7, sedangkan x2 - 4/x + 7x3/2
bukan polinom
Contoh soal :
Jika fungsi f(x) = 5x²+4x-8, tentukan nilai fungsi tersebut untuk x = 3
Contoh soal :
Jika fungsi f(x) = 5x²+4x-8, tentukan nilai fungsi tersebut untuk x = 3
Jawab :
f(3) = 5(3)² + 4(3) – 8
= 45 + 12 – 8
= 49
Sumber
:
KONSEP GEOMETRI DATAR
AKSIOMA DALAM MATEMATIKA
Kata aksioma berasal dari
Bahasa Yunani (axioma), yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau
dianggap terbukti dengan sendirinya. Aksioma adalah sebuah pernyataan dimana pernyataan yang kita
terima sebagai suatu kebenaran dan bersifat umum, seta tanpa perlu adanya
pembuktian dari kita. Bisa juga dikatakan adalah sebuah ketentuan yang pasti
atau mutlak kebenarannya.
Syarat-syarat aksioma
adalah :
- Konsiste (taat asas)
- Independen
- Lengkap
- Ekonomis
Contoh aksioma :
1.
Melalui dua titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis
lurus.
2.
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik
persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.
3.
Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah
bidang
4.
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis
tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu
tersebut.
(sumber: https://pendidikan.id/main/forum/diskusi-pendidikan/mata-pelajaran/508-pengertian-aksioma-dan-teorema
, http://myinfomath.blogspot.com/2014/12/apa-pengertian-dari-aksioma-definisi-postulat-teorema.html?m=1)
Garis dan Sudut
Pengertian Garis
Garis merupakan susunan titik-titik (bisa
tak hingga) yang saling bersebelahan dan berderet memanjang ke dua arah
(kanan/kiri,atas/bawah)
Kedudukan dua buah Garis :
a)
Garis Sejajar
Posisi dua garis akan dikatakan sejajar
apabila kedua garis tersebut berada di satu bidang dan apabila kedua garis
tersebut di perpenjang tidak akan bisa saling berpotongan.
b)
Garis Berpotongan
Dua buah garis dikatakan berpotongan
apabila keduanya memiliki sebuah titik potong atau biasa disebut sebagai titik
persekutuan.
c) Garis
berhimpit
Dua buah garis akan dikatakan berhimpit
apabila kedua garis tersebut memiliki setidaknya dua titik potong. Sebagai
contoh jarum jam ketika menunjukkan pukul 12 pas, kedua jarum jam tersebut akan
saling berhimpit.
d)
Garis Bersilangan
Dua buah garis dapat dikatakan bersilangan
apabila keduanya tidak sejajar dan tidak berada pada satu bidang.
untuk memahami beragam kedudukan garis di
atas perhatikan saja gambar berikut ini:
Pengertian Sudut
Di dalam ilmu matematika, sudut dapat
diartikan sebagai sebuah daerah yang terbentuk karena adanya dua buah garis
sinar yang titik pangkalnya saling bersekutu atau berhimpit.
Bagian-bagian
pada suatu sudut
Sudut memiliki tiga bagian penting, yaitu:
1. Kaki
Sudut
Garis sinar yang membentuk sudut tersebut.
2.
Titik Sudut
Titik pangkal/ titik potong tempat
berhimpitnya garis sinar.
3.
Daerah Sudut
Daerah atau ruang yang ada diantara dua
kaki sudut.
Untuk lebih jelasnya lihat gambar berikut:
Jenis-jenis Sudut:
a.
Sudut Siku-siku
Adalah
sebuah sudut yang memiliki besar daerah sudut 90°
b.
Sudut Lancip
Adalah sebuah sudut yang memiliki besar
daerah sudut diantara 0°dan 90° (0°< D < 90°)
c. Sudut
Tumpul
Adalah sebuah sudut yang memiliki besar
daerah sudut diantara 90°dan180° (90°< D < 180°)
d. Sudut
Lurus
Adalah sebuah sudut yang memiliki besar
daerah sudut 180°
e. Sudut
Refleks
Adalah sebuah sudut yang memiliki besar
daerah sudut diantara 180° dan 360° (180° < D < 360°)
Hubungan antar Sudut
1) Sudut
Berpenyiku
Apabila ada dua buah sudut berhimpitan dan
membentuk sudut siku-siku, maka sudut yang satu akan menjadi sudut penyiku bagi
sudut yang lain sehingga kedua sudut tersebut dinyatakan sebagai sudut yang
saling berpenyiku (komplemen).
∠ABD + ∠DBC = 90°
2) Sudut
Berpelurus
Apabila ada dua buah sudut yang
berhimpitan dan saling membentuk sudut lurus maka sudut yang satu akan menjadi
sudut pelurus bagi sudut yang lain sehingga kedua sudut tersebut bisa dikatakan
sebagai sudut yang saling berpelurus (suplemen).
∠PQS
+ ∠SQT + ∠TQR = 180°
Hubungan
antar sudut apabila dua garis sejajar dipotong oleh garis lain
Simak
dengan baik gambar di bawah ini:
3) Sudut
Sehadap (sama besar)
Adalah
sudut yang memiliki posisi yang sama dan besarnya pun sama. Pada gambar di
atas, sudut yang sehadap adalah :
∠A = ∠E
∠B = ∠F
∠A = ∠E
∠B = ∠F
∠C = ∠G
∠D = ∠H
∠D = ∠H
4) Sudut
Dalam Berseberangan (sama besar)
Adalah
sudut yang ada di bagian dalam dan posisinya saling berseberangan, pada gambar
di atas sudut dalam berseberangan adalah :
∠C = ∠E
∠D = ∠F
∠C = ∠E
∠D = ∠F
5) Sudut
Luar Berseberangan (sama besar)
Adalah
sudut yang berada di bagian luar dan posisinya saling berseberangan, contohnya:
∠A = ∠G
∠B = ∠H
∠A = ∠G
∠B = ∠H
6) Sudut
Dalam Sepihak
Adalah
sudut yang berada di bagian dalam dan berada pada sisi yang sama. Bila
dijumlahkan, sudut yang saling sepihak akan membentuk sudut 180°. Contohnya :
∠D + ∠E = 180°
∠C + ∠F = 180°
∠D + ∠E = 180°
∠C + ∠F = 180°
7) Sudut
Luar Sepihak
Adalah
sudut yang berada di bagian luar dan berada pada sisi yang sama. Bila
dijumlahkan, sudut yang saling sepihak akan membentuk sudut 180°. Contohnya :
∠B + ∠G = 180°
∠A + ∠H = 180°
∠B + ∠G = 180°
∠A + ∠H = 180°
8) Sudut
bertolak belakang (sama besar)
Merupakan
sudut yang posisinya saling bertolak belakang, pada gambar di atas, sudut yang
bertolak belakang adalah :
∠A = ∠C
∠B = ∠D
∠E = ∠G
∠F = ∠H
∠A = ∠C
∠B = ∠D
∠E = ∠G
∠F = ∠H
Satuan Sudut
Di
dalam ukuran derajat, nilai 1 derajat mewakili sebuah sudut yang diputar sejauh
1/360 putaran. Artinya 1°=1/360 putaran.
Untuk menyatakan ukuran sudut yang lebih
kecil dari derajat (°) kita bisa menggunakan menit (') dan detik ('').
Perhatikan hubungan derajat, menit, dan detik berikut ini:
1
derajat (1°) = 60 menit (60')
1
menit (1') = 1/60°
1
menit (1') = 60 detik (60”)
1
derajat (1°) = 3600 detik (3600'')
1
detik (1'') = 1/3600°
ukuran
sudut dalam satuan radian :
1°
= p/180 radianatau1 radian = 180°/p
Apabila
nilai p = 3,14159 maka:
1°
= p/180 radian = 3,14159/180 = 0,017453atau1 radian = 180°/p = 180°/3,14159 = 57,296°
(sumber: http://www.rumusmatematikadasar.com/2014/12/materi-pengertian-garis-dan-sudut
matematika-kelas-7-smp.html)
Rumus Lingkaran - Menghitung Luas, Keliling & Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah diagram yang menunjukkan
perbandingan antar item data dengan cara membagi lingkaran dalam juring-juring
lingkaran dengan sudut pusat yang sesuai dengan perbandingan tersebut. Diagram
lingkaran ini dapat untuk menyajikan data dalam bentuk derajat (°) maupun
bentuk persen(%). Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam menyajikan
data dalam bentuk diagram lingkaran :
·
Satu lingkaran
penuh berarti 360° apabila data disajikan dalam bentuk derajat (°)
·
Satu lingkaran
penuh berarti 100 apabila data disajikan dalam bentuk persen (%)
·
¼ lingkaran
berarti 90°(bentuk derajat) dan 25%(bentuk persen).
·
½ lingkaran berati
180°(bentuk derjat dan 50% (bentuk persen).
Rumus Diagram lingkaran, keliling lingkaran, maupun
luas lingkaran sering di jumpai di berbagai soal dalam matematika. Pelajaran
matematika sudah di dapatkan mulai dari bangku sekolah dasar dan diagram
lingkaran mulain di pelajari di bangku sekolah menengah pertama.
Rumus
Lingkaran :
|
Perhitungan
|
Rumus
|
Satuan
|
|
Luas Lingkaran
|
L = π × d²/4
= π × r²
|
m2
|
|
Keliling Lingkaran
|
K = π × d = 2
× π × r
|
M
|
|
Diameter Lingkaran
|
d = 2 × r
|
M
|
Rumus Luas Lingkaran :
Luas Lingkaran = π x r²
Keterangan:
π ( phi ) = 3,14 atau 22/7
r = jari-jari dari lingkaran atau setengah diameter lingkaran, jika jari-jari satuannya meter (m), maka satuan luasnya m².
Keterangan:
π ( phi ) = 3,14 atau 22/7
r = jari-jari dari lingkaran atau setengah diameter lingkaran, jika jari-jari satuannya meter (m), maka satuan luasnya m².
Menentukan garis istimewa pada segitiga
Dalam sebuah
segitiga, terdapat empat buah garis istimewa yang sudah sangat dikenal.
Garis-garis istimewa tersebut yaitu garis tinggi, garis bagi, garis berat serta
garis sumbu. Berikut ini pembahasan lengkap dari garis-garis istimewa pada
segitiga.
1.
Garis Tinggi Segitiga
Garis tinggi segitiga adalah
garis yang ditarik dari suatu titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi
di depannya.
2.
Garis Bagi Segitiga
Garis bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut
segitiga yang membagi dua sama besar sudut tersebut.
3. Garis Berat
Segitiga
Garis berat segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut
suatu segitiga yang membagi dua sama besar sisi yang di hadapannya.
4.
Garis Sumbu Segitiga
Garis sumbu segitiga adalah garis yang ditarik tegak lurus pada
suatu sisi yang membagi dua sama panjang sisi tersebut.
Pengertian
Segitiga, Jenis dan Sifat Segitiga Istimewa
Pengertian
Segitiga
Segitiga
adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga buah
titik sudut.
Perhatikan
sisi-sisinya, ada berapa sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC? Sisi-sisi yang
membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB, BC, dan AC.
Sudut-sudut
yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut.
a.‘∠A
atau ∠‘BAC atau ∠‘CAB.
b.‘∠B
atau ∠‘ABC atau ‘∠CBA.
c.‘∠C
atau ∠‘ACB atau ∠‘BCA.
Jadi,
ada tiga sudut yang terdapat pada ΔABC. Dari uraian di atas dapat disimpulkan
sebagai berikut.
Segitiga
biasanya dilambangkan dengan “Δ”. Sekarang, perhatikan Gambar berikut.
Pada
gambar tersebut menunjukkan segitiga ABC.
a.
Jika alas = AB maka tinggi = CD (CD ⊥ AB).
b.
Jika alas = BC maka tinggi = AE (AE ⊥ BC).
c.
Jika alas = AC maka tinggi = BF (BF ⊥ AC).
Catatan:
Simbol ⊥ dibaca: tegak lurus.
Jadi,
pada suatu segitiga setiap sisinya dapat dipandang sebagai alas, dimana tinggi
tegak lurus alas. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Alas
segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga, sedangkan tingginya
adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik sudut yang
berhadapan dengan sisi alas.
Jenis-Jenis
Segitiga
Jenis-jenis
suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkan
a.
panjang sisi-sisinya;
b.
besar sudut-sudutnya;
c. panjang
sisi dan besar sudutnya.
Jenis-jenis
segitiga ditinjau dari panjang sisinya
- Segitiga
sebarang.
Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidak sama panjang.
Pada Gambar di bawah, AB ≠ BC ≠ AC.
- Segitiga
sama kaki.
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi sama
panjang. Pada Gambar di bawah segitiga sama kaki ABC dengan AB = BC.
·
Segitiga sama sisi.
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah sisi sama panjang
dan tiga buah sudut sama besar . Segitiga ABC pada Gambar di bawah merupakan
segitiga sama sisi. Coba kalian sebutkan tiga buah sisi yang sama panjang dan
tiga buah sudut yang sama besar.
Jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar
sudutnya
Ingat
kembali materi pada bab terdahulu mengenai jenisjenis sudut. Secara umum ada
tiga jenis sudut, yaitu
- sudut
lancip (0°< x< 90°);
- sudut
tumpul (90°< x< 180°);
- sudut
refleks (180°< x< 360°).
Berkaitan d engan h al tersebut, jika d
itinjau dari besar sudutnya, ada tiga jenis segitiga sebagai berikut.
- Segitiga lancip. Segitiga lancip adalah
segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga sudut-sudut
yang terdapat pada segitiga tersebut besarnya antara 0° dan 90°. Pada
Gambar di bawah, ketiga sudut pada ΔABC adalah sudut lancip.
- Segitiga tumpul. Segitiga tumpul adalah
segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Pada ΔABC di
samping, ‘∠ABC adalah sudut tumpul.
- Segitiga siku-siku. Segitiga
siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku
(besarnya 90°). Pada Gambar di bawah, ΔABC siku-siku di titik C.
Jenis-jenis segitiga ditinjau dari panjang
sisi dan besar sudutnya
Ada
dua jenis segitiga jika ditinjau dari panjang sisi dan besar sudutnya sebagai
berikut.
- Segitiga siku-siku sama kaki. Segitiga
siku-siku sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan
salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (90°). Pada Gambar di bawah,
ΔABC siku-siku di titik A, dengan AB = AC.
- Segitiga tumpul sama kaki. Segitiga
tumpul sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah
satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Sudut tumpul ΔABC pada Gambar di
bawah adalah‘ ∠B, dengan AB = BC.
Sifat-Sifat
Segitiga Istimewa
Berikut
ini akan kita bahas mengenai sifat-sifat dari segitiga istimewa tersebut :
a.
Segitiga siku-siku
Bangun ABCD
merupakan persegi panjang dengan ∠‘A = ‘∠B
= ‘∠C = ∠‘D = 90°.
Jika
persegi panjang ABCD dipotong menurut diagonal AC akan terbentuk dua buah
bangun segitiga, yaitu ΔABC dan ΔADC. Karena ‘∠B = 90° , maka
ΔABC siku-siku di B. Demikian halnya dengan ΔADC. Segitiga ADC siku-siku di D
karena ‘D = 90°. Jadi, ΔABC dan ΔADC masing-masing merupakan s egitiga
siku-siku y ang dibentuk dari persegi panjang ABCD yang dipotong menurut
diagonal AC. Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Besar
salah satu sudut pada segitiga siku-siku adalah 90°.
b.
Segitiga sama kaki
Perhatikan
kembali ΔABC dan ΔADC pada Gambar 8.6. Impitkan kedua segitiga yang terbentuk
tersebut pada salah satu sisi siku-siku yang sama panjang.
Tampak bahwa akan
terbentuk segitiga sama kaki seperti Gambar (ii) dan (iii).Dengan demikian,
dapat dikatakan sebagai berikut :
Segitiga
sama kaki dapat dibentuk dari dua buah segitiga sikusiku yang sama besar dan
sebangun.
Catatan:
Dua
buah bangun datar yang sama bentuk dan ukuran disebut sama dan sebangun atau
kongruen.
c. Segitiga sama sisi
Segitiga
sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Segitiga samakaki
Gambar
8.10
Perhatikan
Gambar 8.10.
- Gambar di samping merupakan segitiga
sama sisi ABC dengan AB = BC = AC.
- Lipatlah ΔABC menurut garis AE. ΔABE
dan ΔACE akan saling berimpit, sehingga B akan menempati C atau B ↔ C
dengan titik A tetap. Dengan demikian, AB = AC. Akibatnya, ‘∠ABC
= ‘∠ACB.
- Lipatlah ΔABC menurut garis CD. ΔACD
dan ΔBCD akan saling berimpit, sehingga A akan menempati B atau A ↔ B
dengan C tetap. Oleh karena itu, AC = BC. Akibatnya, ‘∠ABC
= ‘∠BAC.
- Selanjutnya, lipatlah ΔABC menurut
garis BF. ΔABF dan ΔCBF akan saling berimpit, sehingga A akan menempati C
atau A ↔ C, dengan titik B tetap. Oleh karena itu, AB = BC. Akibatnya, ‘∠BAC
= ‘∠BCA.
Dari point (1), (2), dan (3) diperoleh
bahwa AC = BC = AB dan ∠‘ABC = ‘∠BAC = ‘∠BCA.
Berdasarkan
uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Segitiga
sama sisi mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang dan tiga buah sudut yang
sama besar.
Sekarang,
perhatikan kembali Gambar 8.10.
Jika
ΔABC dilipat menurut garis AE, ΔABE dan ΔACE akan saling berimpit, sehingga AB
akan menempati AC dan BE akan menempati CE. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa
AE merupakan sumbu simetri dari ΔABC. Jika ΔABC dilipat menurut garis CD, ΔACD
dan ΔBCD akan saling berimpit, sehingga AC akan menempati BC dan A D ak an
menempati BD. Berarti, CD merupakan s umbu simetri ΔABC.
Demikian
halnya jika ΔABC dilipat menurut garis BF. Dengan mudah, pasti kalian dapat
membuktikan bahwa BF merupakan sumbu simetri dari ΔABC.
Ada 2 pengelompokan utama Segitiga yaitu
sebagai berikut :
1. Segitiga dengan nama spesial (khusus) yaitu:
 |
Segitiga
Sama Sisi
3 sisi
sama panjang
Besar masing" sudut nya selalu 60° |
 |
Segitiga
Sama Kaki
Ada 2 Sisi sama panjang dan ada
2 sudut yang sama besar |
 |
Segitiga
Sembarang
Tidak ada sisi maunpun sudut yang
sama
|
2. Segitiga berdasarkan bentuk yaitu
:
 |
Segitiga
Lancip
Dimana masing-masing sudut
nya kurang dari 90° |
 |
Segitiga
Siku-siku
Salah
satu sudut nya adalah 90°
|
 |
Segitiga
Tumpul
Dimana salah satu sudutnya lebih dari 90°
|
Bangun Segi
Banyak dan Bukan Segi Banyak
Segi banyak adalah bangun tertutup yang seluruh sisinya dibatasi
oleh garis. Jumlah sudut yang ada sama banyak dengan jumlah sisi yang
dimilikinya.
Kurva tertutup sederhana yang memiliki sisi berupa ruas garis disebut dengan Segi Banyak.Segi banyak terjadi dengan menghubungkan beberapa titik satu sama lain yang tidak terletak pada satu garis lurus.
Apabila sisi dan sudut segi banyak berukuran sama, segi banyak tersebut dinamakan segi banyak beraturan. Segi banyak juga disebut bangun datar karena bangun datar merupakan sebuah bangun berupa bidang datar yang dibatasi oleh beberapa ruas garis dan di dalam bangun datar juga disebutkan mengenai segitiga, segi empat, segi lima dan segi enam.
Bangun datar dalam matematika disebut bangun geometri. Jumlah dan model ruas garis yang membatasi bangun tersebut menentukan nama dan bentuk bangun datar tersebut. Misalnya: Bidang yang dibatasi oleh 3 ruas garis, disebut bangun segitiga. Bidang yang dibatasi oleh 4 ruas garis, disebut bangun segiempat. Bidang yang dibatasi oleh 5 ruas garis, disebut bangun segilima dan seterusnya. Jumlah ruas garis serta model yang dimiliki oleh sebuah bangun merupakan salah satu sifat bangun datar tersebut. Jadi, sifat suatu bangun datar ditentukan oleh jumlah ruas garis, model garis, besar sudut, dan lain-lain
Kurva tertutup sederhana yang memiliki sisi berupa ruas garis disebut dengan Segi Banyak.Segi banyak terjadi dengan menghubungkan beberapa titik satu sama lain yang tidak terletak pada satu garis lurus.
Apabila sisi dan sudut segi banyak berukuran sama, segi banyak tersebut dinamakan segi banyak beraturan. Segi banyak juga disebut bangun datar karena bangun datar merupakan sebuah bangun berupa bidang datar yang dibatasi oleh beberapa ruas garis dan di dalam bangun datar juga disebutkan mengenai segitiga, segi empat, segi lima dan segi enam.
Bangun datar dalam matematika disebut bangun geometri. Jumlah dan model ruas garis yang membatasi bangun tersebut menentukan nama dan bentuk bangun datar tersebut. Misalnya: Bidang yang dibatasi oleh 3 ruas garis, disebut bangun segitiga. Bidang yang dibatasi oleh 4 ruas garis, disebut bangun segiempat. Bidang yang dibatasi oleh 5 ruas garis, disebut bangun segilima dan seterusnya. Jumlah ruas garis serta model yang dimiliki oleh sebuah bangun merupakan salah satu sifat bangun datar tersebut. Jadi, sifat suatu bangun datar ditentukan oleh jumlah ruas garis, model garis, besar sudut, dan lain-lain
(sumber: http://dyahhandayani1515.blogspot.com/2017/10/bangun-segi-banyak-dan-bukan-segi-banyak.html)
Tentang Lingkaran dan
Unsur-Unsur Lingkaran
Lingkaran
merupakan salah satu jenis bangun datar.
Setiap bangun datar termasuk yang berbentuk lingkaran memiliki
unsur-unsur yang membangunnya. Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk
dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari,
diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, apotema, sudut pusat, dan sudut
lingkaran. Untuk melihat unsur-unsur lingkaran dapat memperhatikan gambar
berikut :
.png)
a. Titik
Pusat
Titik pusat lingkaran adalah titik yang
terletak tepat di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar di atas, titik O
merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan
lingkaran O.
b. Jari-Jari
(r)
Jari-jari
lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran
(keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh
garis OA, OB, OC, dan OD.
c. Diameter
(d)
Diameter
adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran
(keliling lingkaran) dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O
merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan
kata lain, nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran,
dapat ditulis secara matematis: d = 2r.
d. Busur
Busur
lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran
(keliling lingkaran) dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan
tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis
lengkung BD merupakan busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda
dapat membayangkannya sebagai busur panah.
e. Tali Busur
Tali
busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik
pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur GH yang
melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur
lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AB, CD, EF, IJ yang tidak
melalui titik pusat seperti pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya
Anda dapat membayangkan seperti pada tali busur panah.
.png)
.png)
f. Tembereng
Tembereng
adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan
tali busur. Pada Gambar dibawah, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir
dan dibatasi oleh busur AB dan tali busur AB. Jadi tembereng terbentuk dari
gabungan antara busur lingkaran dengan tali busur lingkaran.
.png)
g. Juring
Juring
lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah
jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran
tersebut. Pada Gambar di bawah, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang
diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OA dan OB serta busur AB, dinamakan juring
AOB.
.png)
h. Apotema
Apotema
lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali
busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali
busur. Coba perhatikan Gambar di bawah ini secara seksama. Garis OH merupakan
garis apotema pada lingkaran O sehingga OH tegak Lurus dengan EG.
.png)
i.
Sudut Pusat
Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah jari-jari lingkaran di titik pusat. Pada gambar di bawah ini, Garis OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusat O membentuk sudut pusat, yaitu ∠AOB.
Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah jari-jari lingkaran di titik pusat. Pada gambar di bawah ini, Garis OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusat O membentuk sudut pusat, yaitu ∠AOB.
.png)
j.
Sudut Keliling
Sudut
keliling merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah tali
busur di suatu titik pada keliling lingkaran. Pada gambar di atas garis AC dan
BC merupakan tali busur yang berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ∠ACB
Rumus pada
Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi )
Transformasi dapat
diartikan sebagai perubahan. Sehingga, transformasi geometri dapat
didefinisikan sebagai perpindahan benda dalam ruang lingkup geometri. Di bangku
SMA, materi transformasi geometri diberikan saat kelas XII. Dalam pembahasan di
halaman ini, penjabaran yang akan diuraikan meliputi translasi, refleksi,
rotasi, dan dilatasi. Materi yang akan dibahas meliputi ilustrasi perubahan dan
rumus transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, rotasi,
dilatasi.
Rumus pada
transformasi geometri akan memudahkan sobat untuk menentukan hasil transformasi
tanpa harus menggambarnya dalam bidang kartesius terlebih dahulu. Meskipun
begitu, ilustrasi gambar tentang transformasi juga dapat memberikan tambahan
pemahaman buat sobat idschool. Untuk itu, mari simak pembahasan mengenai translasi,
refleksi, rotasi, dan dilatasi pada penjabaran materi di bawah.
Translasi (Pergeseran)
Materi pertama tentang
rumus transformasi geometri yang akan dibahas adalah translasi (pergeseran).
Translasi merupakan perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu
posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu. Penentuan hasil objek melalui
translasi cukup mudah. Caranya hanya dengan menambahkan absis dan ordinat
dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan. Untuk lebih jelasnya mengenai proses
translasi dapat dilihat pada gambar di bawah.
Refleksi (Pencerminan)
Pembahasan berikutnya
adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Seperti
halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah objek yang
mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah
cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang
menjadi cerminnya. Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada tujuh
jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu
y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k.
Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi pada
refleksi/pencerminan.
Selanjutnya, mari
perhatikan uraian matriks transformasi untuk setiap jenisnya.
Pencerminan terhadap sumbu x
Pencerminan Terhadap Sumbu y
Pencerminan terhadap Garis y = x
Pencerminan terhadap Garis y = – x
Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)
Pencerminan terhadap Garis x = h
Pencerminan terhadap Garis y = k
Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau perputaran
merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut
tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar disepakati untuk arah yang berlawanan
dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah
dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah . Hasil rotasi suatu objek tergantung dari
pusat dan besar sudut rotasi. Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga
yang diputar sebesar dengan pusat pada gambar di bawah.
Mendapatkan hasil
rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dahulu akan sangat tidak efektif. Ada
cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil objek hasil rotasi, yaitu
dengan menggunakan rumus transformasi geometri untuk rotasi. Simak lebih lanjut
rumusnya pada pembahasan di bawah.
Rotasi dengan Pusat sebesar
Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar
Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar kemudian sebesar
Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar kemudian sebesar
Dilatasi
Dilatasi disebut juga dengan
perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi,
refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan
transformasi geometri dengan merubah ukuran benda. Ukuran benda dapat menjadi
lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi
faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan
pusatnya. Selanjutnya perhatikan uraian rumus untuk transformasi geometri pada
dilatasi di bawah.
Dilatasi titik terhadap pusat O(0,0) dengan faktor
skala m
Dilatasi titik terhadap pusat P(k,l) dengan faktor
skala m
No comments:
Post a Comment