Zona Baca: BILANGAN PRIMA , BILANGAN KOMPOSIT , KPK DAN FPB, DAN BILANGAN ROMAWI

MAKALAH

BILANGAN PRIMA , BILANGAN KOMPOSIT , KPK DAN FPB, DAN BILANGAN ROMAWI

Untuk memenuhi Tugas Mata Kuliah Pembelajaran Bilangan dan Pengelolaan Data

Dosen Pengampu : Feylosofia Putri Agry, S.pd., M.pd

Disusun oleh :

1. Mohamad Yusuf (1401418263)

2. Istiqomah (1401418284)

3. Aulia Firdausi Azzaki (1401418285)

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2018

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.........................................................................................................

DAFTAR ISI.......................................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN

1.1 RUMUSAN MASALAH ..........................................................................................

1.2 TUJUAN MASALAH.............................................................................................

BAB II PEMBAHASAN

2.1 PENGERTIAN DAN SIFAT-SIFAT BILANGAN PRIMA..................................

2.2 PENGERTIAN BILANGAN KOMPOSIT............................................................

2.3 PENGERTIAN, SIFAT-SIFAT DAN OPERASI KPK & FPB…………………...

2.4 PENGETIAN BILANGAN DAN ANGKA ROMAWI.........................................

BAB III PENUTUP

3.1 KESIMPULAN..........................................................................................................

3.2 SARAN .....................................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah mencurahkan segala nikmat dan karunia-Nya sehingga berkat rahmat dan ridho-Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul ‘Bilangan Prima,Komposit,KPK&FPB, Dan Bilangan Romawi’. Meskipun banyak rintangan dan hambatan yang kami alami dalam proses pengerjaannya, tapi kami berhasil menyelesaikannya dengan baik.

Suatu kebahagiaan yang tidak ternilai bagi kami, yang telah menyelesaikan makalah ini,untuk memenuhi salah satu persyaratan yang di ajukan dalam mata kuliah Perkembangan Peserta Didik. Kami sangat menyadari keterbatasan pengalaman, pengetahuan, kemampuan dalam penyusunan makalah ini.

Dalam penyusunan makalah ini tentu jauh dari kesempurnaan, karenanya kami masih dalam proses belajar. Oleh karena itu, segala kritik dan saran sangat kami harapkan demi perbaikan dan penyempurnaan makalah ini dan untuk pelajaran bagi kita semua dalam pembuatan makalah-makalah selanjutnya.

Semarang, 03 September 2018

Penulis

BAB 1

PENDAHULUAN

A. Latar belakang

Dalam pembelajaran matematika telah kita ketahui ada macam-macam bentuk bilanagan. Seperti bilangan prima,komposit, KPK dan FPB ,dan bilangan romawi. Sejak sekolah dasar tentu kita telah mengetahui apa itu bilangan prima,komposit, KPK dan FPB , dan bilangan romawi. Bagi sebagian orang tentu belum banyak yang tau tentang manfaat dan keuntungan apa saja yang dapat dihasilkan dengan operasi pada bilangan prima, komposit, KPK dan FPB , dan bilangan romawi. Dengan makalah ini akan dibahas lebih lanjut tentang bilangan prima, komposit, KPK dan FPB, dan bilangan romawi.

B. Rumusan masalah

Berdasarkan latar belakang di atas dapat diambil beberapa rumusan masalah yaitu sebagai berikut:

1.Apa definisi bilangan prima, komposit, KPK dan FPB , dan romawi?

2.Bagaimana sifat-sifat bilangan komposit, prima, KPK dan FPB dan romawi?

3.Bagaimana operasi KPK dan FPB?

C. Tujuan

Setelah mempelajari pokok bahasan ini, Anda diharapkan dapat:

1. Mengetahui definisi bilangan prima, komposit, KPK dan FPB , dan romawi.

2. Mengetahui sifat-sifat bilangan komposit, prima, KPK dan FPB, dan romawi.

3. Mengerjakan KPK dan FPB.

BAB II

PEMBAHASAN

1) PENGERTIAN DAN SIFAT-SIFAT BILANGAN PRIMA

Bilangan prima adalah bilangan lebih besar dari 1 yang hanya dapat dibagi oleh dua bilangan berbeda, yakni bilangan itu sendiri dan 1. Dengan kata lain, bilangan prima tidak dapat difaktorisasi menjadi bilangan lain. Contohnya 2 hanya dapat dibagi oleh 2 dan 1. 2 hanya dapat difaktorkan menjadi 2 dan 1 (2 = 2 × 1). Jadi, bilangan prima terkecil adalah 2. Selain itu, 2 juga merupakan satu-satunya bilangan prima genap.

Kenapa 1 bukan bilangan prima? Meski angka 1 tidak dapat dibagi dengan angka lain selain angka itu sendiri, 1 dianggap bukan merupakan bilangan prima. Ini karena angka 1 hanya dapat dibagi oleh angka itu sendiri (1 = 1 × 1). Seperti definisi diatas, suatu bilangan merupakan bilangan prima jika dapat dibagi oleh dua bilangan berbeda.

Bilangan komposit adalah bilangan lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Untuk menentukan apakah suatu bilangan merupakan bilangan prima atau bilangan komposit, Anda perlu faktorkan bilangan tersebut. Jika bilangan tersebut memiliki faktor-faktor selain bilangan itu sendiri dan 1, maka bilangan tersebut merupakan bilangan komposit. Jika sebaliknya, maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima.

Contohnya bilangan 9 dapat difaktorkan menjadi 9 = 3 × 3 × 1. Jadi 9 bukan merupakan bilangan prima. Bilangan 13 dapat difaktorkan menjadi 13 = 13 × 1. Jadi 13 merupakan bilangan prima.

Tabel Contoh Bilangan Prima 1 Sampai 100

2	3	5	6	11
13	17	19	23	29
31	37	41	43	47
53	59	61	67	71
73	79	83	89	97

SIFAT-SIFAT BILANGAN PRIMA

Semua bilangan prima adalah ganjil kecuali 2.
Banyaknya bilangan prima adalah tak terhingga.
Bilangan yang berakhiran (angka satuannya) 2, 4, 5, 6, 8, dan 0 adalah bukan bilangan prima. kecuali bilangan 2 dan 5.
Sebuah teorema mengatakan. Yaitu teorema Hadamard Poussin yang mengatakan bahwa, Banyaknya bilangan prima untuk x mendekati tak hingga dinyatakan dengan pendekatan mendekati $\frac{x}{ln \, x}$

Dari sifat nomor 1 dikatakan bahwa semua bilangan prima adalah ganjil kecuali 2. Sekarang bagaimana dengan bilangan prima ganjil yang berurutan. Dua bilangan prima yang ganjil yang berurutan disebut bilangan prima kembar.

Bisa dituliskan p dan p+2. Dan keduanya merupakan bilangan prima. Mempunyai selisih 2. Berikut adalah beberapa pasangan-pasangan prima kembar.

(3 dan 5), (5 dan 7), (11 dan 13), (17 dan 19), (29 dan 31)

Mungkin kita akan bertanya-tanya. Apakah hanya pasangan-pasangan seperti itu yang merupakan pasangan bilangan prima kembar. Apakah ada pasangan prima kembar yang lain? Mungkin kalian bisa menemukan pasangan-pasangan prima kembar yang lain.

Sekarang perhatikan dua bilangan berikut

100000000061 dan 100000000063

Keduanya merupakan bilangan prima. Dan selisih dua bilangan tersebut adalah 2. Jadi bisa dikatakan bahwa dua bilangan tersebut adalah pasangan prima kembar.

Salah satu cara mencari bilangan prima yang benar yaitu menggunakan cara yang dilakukan oleh Erastothenes dari Kirene yang dikenal dengan Sieve of Erastothenes.

Langkah ini banyak digunakan siswa SD saat pengenalan bilangan prima pada saat sekolah dasar. Biasanya untuk siswa setingkat SD, bilangan prima yang dicari dibatasi dari 0 sampai 100. Dibawah ini diberikan langkah-langkah mencari bilangan prima dari 0 sampai 100.

Langkah-langkahnya :

Buat tabel bilangan berukuran 10 x 10

Coret bilangan 1 karena bukan prima
Lingkari angka 2 dan coret kelipatan 2
Lingkari angka 3 dan coret kelipatan 3
Lingkari angka 5 dan coret kelipatan 5
Lingkari angka 7 dan coret kelipatan 7

2) PENGERTIAN DAN SIFAT-SIFAT BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 (satu) yang bukan termasuk bilangan prima. Bilangan komposit juga dapat didefinisikan sebagai faktorisasi dari bilangan bulat.
Atau dapat juga diartikan bahwa bilangan komposit adalah merupakan hasil perkalian antara dua bilangan prima atau lebih.
Ada juga yang mengartikan bahwa bilangan komposit adalah bilangan cacah selain 1 (satu) dan 0 (nol) serta bukan termasuk bilangan prima. Istilah lain dari bilangan komposit adalah bilangan tersusun.
Selain pengertian-pengertian di atas, masih ada yang memaknai bahwa bilangan komposit adalah bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Contoh bilangan komposit

Berdasarkan pengertian – pengertian tersebut di atas maka dapat disimpulkan bahwa contoh – contoh dari bilangan komposit adalah sebagai berikut;

1. Bilangan komposit kurang dari 10 (sepuluh)

( 4, 6, 8, 9 )

2. Sepuluh bilangan komposit pertama

(4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 )

3. Bilangan komposit kurang dari 20 (duapuluh)

(4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 )

4. Bilangan komposit pada dadu

( 4, 6 )

5. Bilangan komposit 1-100

Lambang dari himpunan bilangan komposit

Secara umum sebenarnya tidak ada lambang khusus untuk bilangan komposit, namun untuk menyatakan suatu bilangan komposit seringkali menggunakan simbol huru ‘K’ (huru k besar).

Himpunan bilangan komposit

1. Himpunan Bilangan komposit kurang dari 10 (sepuluh)

K = { 4, 6, 8, 9 }
Jadi anggota himpunan bilangan komposit kurang dari 10 berjumlah 4.

2. Himpunan Sepuluh bilangan komposit pertama

K ={ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 }

3. Himpunan Bilangan komposit kurang dari 20 (duapuluh)

K = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 }
Jadi himpunan bilangan komposit kurang dari 20 anggotanya berjumlah 10.

Demikian pembahasan secara lengkap dan detail untuk bilangan komposit mulai dari pengertian bilangan komposit, contoh bilangan komposit, lambang bilangan komposit dan himpunan bilangan komposit.

3) PENGERTIAN DAN OPERASI KPK & FPB

A. Pengertian KPK

Kelipatan Persekutuan Terkecil atau lebih dikenal dengan sebutan KPK dari dua bilangan merupakan bilangan bulat positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut.

Dalam mencari nilai KPK dari bilangan dapat digunakan beberapa metode, antara lain :

1. Menggunakan Kelipatan Persekutuan

Kelipatan persekutuan merupakan kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih . KPK adalah nilai terkecil dari kelipatan persekutuan 2 atau lebih bilangan.
Contoh:

carilah KPK dari 4 dan 8?

Jawab :
Kelipatan 4 adalah = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ….}
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, …}Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, … ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8

2. Menggunakan Faktorisasi Prima

Hal yang harus dilakukan dalam mencari KPK menggunakan cara faktorisasi prima yaitu mengalikan semua bilangan faktor dan apabila ada yang sama ambil yang terbesar, apabila keduanya sama ambil salah satunya
Contoh:

carilah KPK dari 8, 12 dan 30
Jawab :
buat pohon faktornya

faktor 2 yang terbesar àdalah 2³
faktor 3 nilainya sama untuk 12 dan 30à ambil salah satunya saja yaitu 3
faktor 5 ada 1 ambil nilai 5
sehingga KPKnya adalah 2³ x 3 x 5 = 120

3. Menggunakan Tabel

Sama hal nya dengan mencari FPB, hakikatnya cara ini memiliki prinsip yang sama

contoh :

a. Tentukan KPK dari bilangan 16 dan 40

	16	40
2	8	20
2	4	10
2	2	5
2	1	5
5	1	1

KPK = 2 X 2 X 2 X 2 X 5

= 2⁴ X 5 = 80

b. Tentukan KPK dari bilangan 10, 15 dan 25

	10	15	25
2	5	15	25
3	5	5	25
5	1	1	5
5	1	1	1

KPK = 2 X 3 X 5 X 5

= 2 X 3 X 5² = 150

Contoh soal cerita

Ali Berenang 10 hari sekali, Budi berenang 15 hari sekali, sedangkan Amir berenang 20 hari sekali. Ketiga-tiganya sama-sama berenang petamakali pada tanggal 20 februari 2012, kapan ketiga-tiganya sama-sama berenang untuk yang keduakalinya?

Jawab:Faktorisasi prima dari 10 = 2 x 5
Faktorisasi prima dari 15 = 3 x 5
Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5KPK dari 10, 15 dan 20 = 2² x 3 x 5 = 60 (kalikan semua faktor, faktor yang sama ambil yang terbesar)
Jadi mereka sama-sama berenang setiap 60 hari sekali.
Mereka sama-sama berenang untuk yang keduakalinya adalah 20 februari + 60 hari = 20 April

Ingat bulan februari untuk tahun kabisat adalah 29 hari, untuk tahun bukan kabisat = 28 hari
(2012 adalah tahun kabisat karena habis dibagi dengan 4)

Bu Aminah mempunyai 20 jeruk dan 30 salak, jeruk dan salak akan dimasukkan ke dalam plastik dengan jumlah yang sama.
a. Berapa plastik yang diperlukan?
b. Berapa banyak jeruk dan salak pada masing-masing plastik?Jawab:Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kalikan faktor yang sama, apabila sama ambil yang terkecil)

a. Jumlah plastik yang diperlukan = 10 plastik
b. Jumlah jeruk pada setiap plastik = 20/10 = 2 jeruk
Jumlah salak pada setiap plastik = 30/10 = 3 salak

Pak Andi mendapat giliran ronda setiap 4 hari. Pak Karim mendapat giliran ronda setiap 6 hari. Pak Tedi mendapat giliran ronda setiap 8 hari. Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama ? Jika mereka ronda bersama-sama tanggal 1 Januari 2018, tanggal berapakah mereka ronda bersama-sama lagi ?

Penyelesaian

KPK dari 4, 6 dan 8

	4	6	8
2	2	3	4
2	1	3	2
2	1	3	1
3	1	1	1

KPK dari 4, 6, dan 8 = 2 X 2 X 2 X 3

= 2³ X 3

= 8 X 3

= 24

Jadi mereka ronda bersama-sama setiap 24 hari sekali dan mereka akan berenang lagi pada tanggal 25 Januari 2018.

B. Pengertian FPB

Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.

Dalam bahasa Inggris FPB dikenal dengan Greatest Common Divisor (GCD), sering djiuga disebut sebagai Greatest Common Factor (GCF) atau Highest Common Factor (HCF).

Cara Mencari FPB

Sama seperti KPK, cara mencari FPB adalah menggunakan:

Metode sederhana
Metode Faktorial / Pohon Faktor

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara Mencari FPB dengan Metode Sederhana

Mencari FPB dari 12 dan 20:

Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Mencari FPB dari 15 dan 25:

Faktor dari 15 = 1, 3, 5, dan 15
Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25
FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.

Cara Mencari FPB dengan Metode Faktorial

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

              147         189             231

              /\          /\              /\

             3 49        3  63           3  77

               /\           /\              /\

              7  7         7  9            7  11

/\

                             3  3

Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:
Faktorial 147 = 3¹ x 7²Faktorial 189 = 3³ x 7¹Faktorial 231 = 3¹ x 7¹ x 11¹

Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.

Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 3¹ x 7¹ = 21.

Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.

4) Pengertian bilangan romawi

Bilangan romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno yang menggunakan huruf latin untuk melambangkan penomoran angkanaya.

Angka Romawi yang umum digunakan pada zaman sekarang ini, antara lain banyak digunakan pada jam, bab buku, penomoran sekuel film, penomoran seri event olahraga seperti Olimpiade.

Aturan penulisan dan Contoh bilangan romawi

Cara mudah untuk menuliskan bilangan angka yang besar dalam angka Romawi ialah dengan menuliskan ribuan terlebih dahulu, ratusan, puluhan kemudian satuan.

Contoh bilangan romawi 1988.

Seribu adalah M, sembilan ratus adalah CM, delapan puluh adalah LXXX, delapan adalah VIII.
Digabung: MCMLXXXVIII

Contoh bilangan romawi 1945

Serimu adalah M, sembilan ratus adalah CM, empat puluh adalah XL, lima adalah V.
Digabung: MCMXLV

Contoh bilangan romawi 4000 = MMMM

Contoh bilangan romawi 5000 = I ƆƆ

Gambar: Lambang pokok bilangan romawi

Tabel angka romawi

Untuk lebih jelasnya tentang penulisan angka atau bilangan romawi silahkan perhatikan tabel berikut ini!

No urut	Angka Biasa	Angka Romawi
1	0	tidak ada
2	1	I
3	2	II
4	3	III
5	4	IV
6	5	V
7	6	VI
8	7	VII
9	8	VIII
10	9	IX
11	10	X
12	11	XI
13	12	XII
14	13	XIII
15	14	XIV
16	15	XV
17	19	XIX
18	20	XX
19	30	XXX
20	40	XL
21	50	L
22	60	LX
23	70	LXX
24	80	LXXX
25	90	XC
26	100	C
27	200	CC
28	400	CD
29	500	D
30	666	DCLXVI
31	900	CM
32	1000	M
33	1945	MCMXLV
34	1999	MCMXCIX
35	2000	MM
36	3000	MMM
37	4000	MMMM
38	5000	IƆƆ

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Bilangan prima adalah bilangan lebih besar dari 1 yang hanya dapat dibagi oleh dua bilangan berbeda, yakni bilangan itu sendiri dan 1. Dengan kata lain, bilangan prima tidak dapat difaktorisasi menjadi bilangan lain. Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 (satu) yang bukan termasuk bilangan prima. Bilangan komposit juga dapat didefinisikan sebagai faktorisasi dari bilangan bulat. Atau dapat juga diartikan bahwa bilangan komposit adalah merupakan hasil perkalian antara dua bilangan prima atau lebih. Kelipatan Persekutuan Terkecil atau lebih dikenal dengan sebutan KPK dari dua bilangan merupakan bilangan bulat positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut. Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.Dalam bahasa Inggris FPB dikenal dengan Greatest Common Divisor (GCD), sering djiuga disebut sebagai Greatest Common Factor (GCF) atau Highest Common Factor (HCF). Bilangan romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno yang menggunakan huruf latin untuk melambangkan penomoran angkanaya. Angka Romawi yang umum digunakan pada zaman sekarang ini, antara lain banyak digunakan pada jam, bab buku, penomoran sekuel film, penomoran seri event olahraga seperti Olimpiade.

3.2 SARAN

Demikianlah makalah yang kami buat semoga bermanfaat bagi orang yang membacanya dan menambah wawasan bagi orang yang membaca makalah ini. Dan penulis mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penulisan kata dan kalimat yang tidak jelas, mengerti, dan lugas mohon jangan dimasukkan ke dalam hati.

Dan kami juga sangat mengharapkan yang membaca makalah ini akan bertambah motivasinya dan menggapai cita-cita yang di inginkan.

Sekian penutup dari kami semoga berkenan dihati dan kami ucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya.

DAFTAR PUSTAKA

https://www.berpendidikan.com/2015/05/pngertian-bilangan-romawi-dan-contoh-bilangan-romawi-1-5000.html

http://www.jendelasarjana.com/2014/03/pengertian-bilangan-prima-contoh.html

https://www.berpendidikan.com/2015/05/pengertian-bilangan-komposit-dan-contohnya-lengkap.html

Zona Baca

Tuesday, October 8, 2019

BILANGAN PRIMA , BILANGAN KOMPOSIT , KPK DAN FPB, DAN BILANGAN ROMAWI